“问题情境——建立模型”的概念教学案例

--学习平方差公式体会

初中数学课的教学应结合具体的数学内容采用“问题情境→建立模型→解释、应用与拓展”的模式展开，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义，掌握必要的基础知识与基本技能，增强学好数学的愿望和信心。特别对于抽象的概念教学，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服记忆概概念的学习方式。现以《平方差公式》为例，阐述如何“创设问题情境、建立知识的模型”的过程。
师：我们已经学过了多项式的乘法，哪个小组能告诉我，“两个二项式相乘，在合并同类项之前应该有几项？”
生A（抢答）：我认为应该有四项。
师：同学们同意A同学的说法吗？
生：同意！
师：我也同意A同学的说法（教师给这个小组加上一颗五角星）。
但不知同学们有没有注意到我刚才说的是合并同类项之前，那么在合并同类项之后会出现什么情况呢？
（教师多媒体给出问题串：两个二项式相乘，在没有合并同类项之后，有没有只有三项的？有没有只有两项的？举例说明。独立完成后，今天的小组长组织小组成员交流，记录员把各成员的结果以你自己的方式记在记录本上）
……
师：哪个组来回答？（话一完就有很多组的同学站了起来，最后决定用剪刀石头布的方式来确定哪个组来回答）
生B：我回答第一个问题，我组分别写出了以下四种情况（通过实物投影展示，接着又有几个组的同学把结果通过实物投影仪展示出来,教师对学生的回答及时进行有效的评价，并对相应的组打上星）
生C：我回答第二个问题，我们组写出了以下四种情况：
1、(x+1)(x-1)=x2-x+x-1=x2-1;    2、(x+2)(x-2)=x2-2x+2x-1=x2-4;
3、(x+y)(x-y)=x2-xy+xy-y2=x2-y2  4、(x-3)(x+3)=x2+3x-3x-9=x2-9
（通过实物投影展示，接着又有几个组的同学把结果通过实物投影仪展示出来，教师对学生的回答及时进行有效的评价，并对相应的组打上星）
……
师：从上面的例子可以看出两个二项式相乘，合并同类项后积可以是二项式，那么具备什么样特征时积才会是二项式呢？它们的积有什么特征？（媒体给出问题串，要求学生独立完成后，今天的小组长组织小组成员交流，记录员把各成员的结果以你自己的方式记在记录本上）
……
生D：我们组交流后，认为两个因式的两项中分别有一项相同，而另一项互为相反数积一定是二项式。
生E：我们组交流后认为，当乘式是两个数之和以及这两数之差相乘时积一定是二项式。
师：你们同意这两组的意见吗？
生：同意。
师：我也同意他们的意见。他们从不同的角度分析了乘式的特征，用两数和及这两数的差表达乘式的特征既简单又确切（教师组这两组打上星）。那么它们的积有什么特征呢？
生G：积等于乘式中这两数的平方差。
师：你们同意这两组的意见吗？
生：同意。
师：我也同意他们的意见。这组同学特别是用了“这两个数”四个字实在是太好了，说明他观察得很仔细，表达也很贴切（教师给这组打上一颗星）。
师：我们再看一下，为什么具备以上特点的两个二项式相乘，积会是两项呢？
生F：具备这样特点的两个二项式相乘时，积的四项中会出现互为相反数的两项，而这两项合并后为零，所以就剩下了两项了。
师：很好，假如我们用a、b来表示这两个数，你能用这两个字母表达出刚才我们所说的等式吗？
生H：（a-b）(a+b)=a2-b2
师：非常好，这就是我们今天要学习的平方差公式。
师：你能算出下面两图中和第Ⅰ块和第Ⅲ块的面积之和吗？(几何画板给出)

案例评析：
1、 设置疑问，引入课题。
    鲁宾斯坦说过，思维通常总是开始于疑问或者问题，开始于惊奇或者疑惑，开始于矛盾。适当的悬念，巧布某种卡壳，引起学生的好奇，能激发学生的学习兴趣和动机，而学习兴趣能使学生的主动性积极性巨增，产生良好的效果。本案例将“两个二项式相乘，积可能有几项”的问题作为课题引入，目的是激发学生的学习兴趣。
2、突出了数学课堂教学中的探索性。
     通过学生自己的试算、观察、发现、总结、归纳，得出为什么有的两个二项式相乘其积为两项是因为其中两项是两个数的平方差，而另两项恰是相反数，合并同类项时为零。让学生经历前人发现这个概念的“浓缩”过程，让学生尝到了成功的喜悦，激发了学生的发现思维的火花。从而培养了学生观察、概括能力，发展学生的符号感和推理能力；
3、引进了计算机（《几何画板》）技术。
    通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，目的是使学生对此公式有一个更直观的认识。
4、恰当地处理自主、探究、合作的关系。
    自主探究合作学习是新课程改革中追求的一种学习方法，但合作学习必须建立在学生的独立探索的基础上，否则合作学习将会流于形式，不能起到应有的效果，所于我在上课时强调学生先独立思考，再由当天的小组长组织进行，并由当天的记录员记录小组成员的活动情况；
5、把竞争机制引入课堂，同时进行恰当的评价。
    让学生在合作中学习，在竞争收获，及时对各小组的发言进行恰当的评价，能调节课堂的气氛，同时也是时代对我们的要求。
6、充分发挥课堂教学的民主。
    在课堂教学中多次用到“你们同意吗？”、“我与同意”的话语，让学生体验到他们才是学习的主人，教师是他们平等的合作者。同时在课堂中采用剪刀石头布的形式来决定哪个组来回答，也是解决“有多名学生要抢答”这种新问题的一种尝试。