运用数学分类思想提高课堂教学有效性摭谈

江宁区丹阳学校   叶明生

内容提要：数学学习不能离开思维，数学探索则需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学分类思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维品质，既符合新课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。本文仅从笔者在教学中的做法，谈谈分类思想在初中数学教学中的渗透的几点体会。

关键词：分类思想   课堂教学

数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将它分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，也是一种重要的数学逻辑方法。数学分类讨论方法就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。

教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对分类思想的主动应用

    一、渗透分类思想，培养学生分类的意识

每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。

教授完负数、有理数的概念后，及时引导学生对有理数进行分类，让学生了解到对不同的标准，有理数有不同的分类方法，如分为：

有理数：正有理数、零、负有理数(按照正负性来分)。或有理数：整数、分数。为下一步分类讨论奠定基础。

认识数a可表示任意数后，让学生对数a 进行分类，得出正数、零、负数三类。讲解绝对值的意义时，引导学生得到如下分类：

 a（a＞0）

 |a|=      0（a=0）

 -a（a<0）

 通过对正数、零、负数的绝对值的认识，了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。

    又如，两个有理数的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，而负数和负数的大小比较是新的知识点，这就突出了学习的重点。结合“有理数”这一章的教学，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为：正数、负数、整数，就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，不越级讨论。

二、教会学生分类方法，增强思维的严密性

在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。分类的方法常有以下几种：

1、根据数学的概念进行分类。有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。

例1.化简 |a|/ a
解： 当 a 〉0 时 ， |a|/ a =a÷a = 1

      当 a ＜0 时，|a|/ a = - a÷a =-1

这是按绝对值的意义进行分类。

错解： |a|/ a =a÷a = 1

比较正确解法与易得的错误解法，导致错误在于没有注意到字母可表示一切实数。而对数a进行分类讨论，即可得到正确的解答。

      又如：学习一元二次方程 , 根的判别式时，对于变形后的方程:(x-p)²=q用两边开平方求解，需要分类研究q 大于0，q等于0，q小于0这三种情况对应方程解的情况。而此题 q 的符号决定能否开平方，是分类的依据。从而得到一元二次方程 的根的三种情况。

2、根据运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的。如：

例2.解关于x的不等式:ax＋3＞2x+a

分析:通过移项不等式化为（a－2）x>a－3的形式，然后根据不等式的性质可分为a－2＞0,a－2＝0,和a－2＜0三种情况分别解不等式。

①当a－2＞0，即a＞2时，不等式的解是x> (a－2)/(a－3)

②当a－2＝0,即a＝2时，不等式的左边＝0，不等式的右边＝－1

因为0＞－1,所以不等式的解是一切实数。

③当a－2＜0，即a＜2时，不等式的解是x<(a－2)/(a－3)

3、根据图形的特征或相互间的关系进行分类

如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为：直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。

例3。已知直角三角形的两边长为3和4，则第三边为＿＿＿＿＿＿＿。(贵州省贵阳市2009年中考试题)

分析：本题根据图形的特征，第三边可以是直角三角形的斜边，也可以是直角三角形的直角边，有两种情况（如图①、②）。这是从几何图形的点和线出现不同的位置进行分类。

A                                  A

4                                       4

B  3    C                          B 3    C

①                                 ②

我们在证明圆周角定理时，由于圆心的位置有在角的边上、角的内部，角的外部三种不同的情况，因此分三种不同情况分别讨论证明。先证明圆心在圆周角的一条边上，这种最容易解决的情况，然后通过作过圆周角顶点的直径，利用先证明（圆心在圆周角的一条边上）的这种情况来分别解决圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部这两种情况。这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法。它是根据几何图形点和线出现不同位置的情况逐一解决的方法。教材中在证明弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。也是如此分圆心在弦切角的一条边上，弦切角的内部、弦切角的外部三种不同情况解决的。

 三、引导学生分类讨论，提高多维解题能力

    初中课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，在教授这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括，总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性。

一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：

(1)涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。

   例4.已知函救y＝（m-1）x²＋(m-2）x－1（m是实数）.如果函数的图象和x轴只有一个交点，求m的值.

分析：这里从函数分类的角度讨论，分 m－1=0 和 m－1≠0 两种情况来研究解决问题。

解：当m＝l 时函数就是一个一次函数y＝－x－1，它与x轴只有一个交点（-1，0）。

当 m≠1 时，函数就是一个二次函数y＝（m-1）x²＋(m-2）x－1

当△＝（m－2）2+4(m－1)=0,得 m=0.

抛物线 y=－x2－2x－1,的顶点（－1，0）在x轴上

(2)根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题.

例5.（2005年南京市中考试题）如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的⊿ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm。半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上。设运动时间为t (s)，当t=0s时，半圆O在⊿ABC的左侧，OC=8cm。

（1）    当t为何值时，⊿ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？    

（2）    当⊿ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与⊿ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。

 

 

分析：本题主要考察直线与圆相切的位置关系，在半圆O向右运动的过程中，应分类考虑直线与圆相切时的四种情况。（如下图：①、②、③、④）

 

 

①                                                                                                                                                   ②

 

 

③                           ④

由以上的几个例子，我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常清晰，步骤非常的明了。另一方面在讨论当中，可以激发学生学习数学的兴趣。

总之，充分利用现有教材中的文本资源，在教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法，同时结合其它数学思想方法的学习、综合运用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维，会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。

 

 

 

 

 

 

2007.08